مسابقة دكتوراه 2021 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

1. Écrire les matrices $A_2$, $A_3$ et $A_4$.
2. Déterminer les valeurs de $\alpha$ telles que $\det A_2 = 0$, puis $\det A_3 = 0$.
3. On considère le système $A_3 (x_1, x_2, x_3)^T = (1, 2, 3)^T$.

• (a) Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour que $A_3$ soit définie positive. Que peut-on dire concernant la convergence de la méthode de relaxation pour la résolution de ce système ?
• (b) Étudier la convergence de la méthode de Gauss-Seidel pour $\alpha = 2$, puis calculer $x^{(1)}$ et $x^{(2)}$, si la valeur initiale est $x^{(0)} = (0, 0, 0)^T$.

2. Jacobi : $J = D^{-1}(E+F) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ ($D = I$). Le polynôme caractéristique est $\lambda^3 - 5\lambda - 12 = 0$, dont $\lambda = 3$ est racine : $\rho(J) \ge 3 > 1$, Jacobi diverge. Gauss-Seidel : $L_1 = (D-E)^{-1} F = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & 14 & 21 \end{pmatrix}$, matrice de rang 1 de valeur propre non nulle égale à sa trace $= 17$ : $\rho(L_1) = 17 > 1$, Gauss-Seidel diverge.

3.(a) En remplaçant $L = (\tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8})^T$ : $\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4}$ ; $-\tfrac{1}{24} - \tfrac{1}{24} + \tfrac{8}{24} = \tfrac{1}{4}$ ; $-\tfrac{5}{24} + \tfrac{8}{24} = \tfrac{1}{8}$ : $(I_2)$ a les mêmes solutions que $(I_1)$ (réarrangement algébrique des équations), les deux systèmes sont équivalents.

(b) $T = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ -1/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & -5/6 & 0 \end{pmatrix}$, $V = (0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3})^T$. $|||T||| = \max(\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{5}{6}) = \tfrac{5}{6} < 1$ : l'itération est contractante pour $\|\cdot\|_\infty$, elle converge vers l'unique point fixe $L$.

(c) $|(CX)_i| = |\sum_j c_{ij} x_j| \le \sum_j |c_{ij}| \|X\|_\infty \le |||C||| \, \|X\|_\infty$ pour tout $i$.

(d) $X^{k+1} - X^k = T(X^k - X^{k-1})$ donc $\|X^{k+1} - X^k\|_\infty \le |||T|||^k \|X^1 - X^0\|_\infty$. En sommant la série géométrique télescopique $X^k - L = -\sum_{m \ge k} (X^{m+1} - X^m)$ :

(e) $X^1 = TX^0 + V = (\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{2})^T$, donc $\|X^1 - X^0\|_\infty = \max(\tfrac{1}{2}, \tfrac{4}{3}, \tfrac{5}{2}) = \tfrac{5}{2}$. Condition : $\frac{(5/6)^k}{1/6} \cdot \tfrac{5}{2} = 15 \left(\tfrac{5}{6}\right)^k \le 0{,}01$, soit $(6/5)^k \ge 1500$, $k \ge \frac{\ln 1500}{\ln 1{,}2} \approx 40{,}1$ : il faut $\boxed{k = 41}$ itérations.