مسابقة دكتوراه 2020 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 1سا

JSON import — Université Badji Mokhtar - Annaba 2020 — Université de Badji-Mokhtar - Annaba — Faculté des Sciences — Département de Mathématiques. Concours de FD Mathématiques Appliquées 2019-2020. Photo floue : certains détails des formules (4), (5) et (

التمرين 1

تمرين 1

#différences finies#analyse numérique#problème aux limites

Problème (8 points). Soient $f \in C^2([0,1])$ et $\psi \in C([0,1])$ deux fonctions données avec

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ψ \in C ([0, 1])

0 < \psi(x) < M, \qquad (1)

avec $M > 0$ . On s'intéresse au problème suivant :

-u_{xx}(x) + \psi(x)\,u_x(x) = f(x), \qquad x \in (0,1), \qquad (2)

avec

u(0) = u(1) = 0. \qquad (3)

On suppose que ce problème admet une solution unique $u \in H_0^1(0,1)$ et que $u \in C^4[0,1]$ .

On cherche une approximation pour le problème (2)–(3) par la méthode de Différences Finies. Soit $N \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ et considérons

h = \frac{1}{N+1}.

Pour chaque $i \in \{0,\ldots,N+1\}$ , on pose $x_i = ih$ . On note par $u_i$ la valeur approchée recherchée de $u$ au point $x_i$ . On utilise les approximations centrées les plus simples de $u_x$ et $u_{xx}$ aux points $x_i$ . On pose $u_h = (u_1, \ldots, u_N)^T$ .

Montrer que $u_h$ est solution d'un système linéaire de la forme $A_h u_h = b_h$ ; donner $A_h$ et $b_h$ .
Montrer que le schéma numérique obtenu est consistant et donner une majoration de l'erreur de consistance (on rappelle que l'on a supposé $u \in C^4[0,1]$ ).
Soit $v \in \mathbb{R}^N$ , montrer que $A_h v \ge 0 \Rightarrow v \ge 0$ .
On pose maintenant

\psi(x) = \frac{1}{1+x}. \qquad (4)

Montrer que la fonction $\psi$ donnée par (4) vérifie l'hypothèse (1). 5. On définit $\theta$ par

\theta(x) = -\frac{1}{2}(1+x)^2\ln(1+x) + \frac{2}{3}(x^2 + 2x)\ln(2), \qquad x \in [0,1]. \qquad (5)

Montrer qu'il existe une constante $C \ge 0$ indépendante de $h$ telle que

\max_{i \in \{1,\ldots,N\}}\left| -\frac{1}{h^2}(\theta_{i+1} - 2\theta_i + \theta_{i-1}) + \frac{1}{2h(1+x_i)}(\theta_{i+1} - \theta_{i-1}) - 1 \right| \le C h^2, \qquad (6)

avec $\theta_i = \theta(x_i)$ .

≥

θi

θi−1

)

2h(1+xi)1

(

θi+1

−

θi−1

)

−