مسابقة دكتوراه 2020 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques · المدة: 3سا

JSON import — Université Badji Mokhtar - Annaba 2020 — Université Badji Mokhtar Annaba — Faculté des sciences — Département des mathématiques. Concours d'entrée à la formation doctorale « Mathématiques Appliquées », le 26-10-2019. Photo peu nette : vérifi

التمرين 1

تمرين 1

#systèmes dynamiques#orbites périodiques

Soit le système différentiel autonome

\frac{dx}{dt} = f(x,y), \qquad \frac{dy}{dt} = g(x,y)

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f(x,y),dtdy=

g(x,y)

Montrer que la solution $(x(t), y(t))$ est périodique de période $T$ si et seulement si l'orbite correspondante est fermée.

التمرين 2

تمرين 2

#systèmes dynamiques#variétés invariantes

Soit le système

\frac{dx}{dt} = x^2 y - x^5, \qquad \frac{dy}{dt} = -y + 2x^3.

Chercher les variétés invariantes au voisinage du point d'équilibre $(0,0)$ et tracer les orbites.

التمرين 3

تمرين 3

#systèmes dynamiques#variétés invariantes

Soit le système différentiel autonome

\frac{dx_1}{dt} = x_1 x_3 - x_1 x_2^2, \qquad \frac{dx_2}{dt} = x_2 x_3 - x_2 x_1^2, \qquad \frac{dx_3}{dt} = -x_3 + x_1^2 + x_2^2.

Chercher les variétés invariantes au voisinage du point d'équilibre $(0,0,0)$ et tracer les orbites.

التمرين 4

تمرين 4

#systèmes dynamiques#orbites périodiques

Soit le système différentiel autonome

\frac{dx}{dt} = 2x - xy^2 + \cos(y), \qquad \frac{dy}{dt} = -y - x^2 y + \sin(x).

Montrer qu'il n'existe pas d'orbite périodique à l'intérieur du cercle $\{(x,y)\,/\; x^2 + y^2 = 1\}$ .