مسابقة دكتوراه 2022 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

ce qui est exactement (FLU).

2. Développements de Taylor de $u$ en $x_{i+\frac{1}{2}}$ (avec $u \in C^2$) : $u(x_{i+1}) = u(x_{i+\frac{1}{2}}) + (x_{i+1} - x_{i+\frac{1}{2}}) u'(x_{i+\frac{1}{2}}) + O(h^2)$ et de même pour $u(x_i)$. En soustrayant et divisant par $h_{i+\frac{1}{2}}$ :

3. Sommation par parties (Abel) avec $u_0 = u_{N+1} = 0$ : en réindexant

chaque différence $u_{i+1} - u_i$ étant comptée une fois avec $u_{i+1}$ et une fois avec $-u_i$.

4. (SC) est un système linéaire carré en $(u_1, \dots, u_N)$. Si le second membre est nul, l'identité (ID) donne $\sum_i (u_{i+1} - u_i)^2 / h_{i+\frac{1}{2}} = 0$, donc tous les $u_i$ sont égaux et nuls (car $u_0 = 0$) : le système homogène n'a que la solution nulle, donc (SC) admet une solution unique. En soustrayant (SC) de (FLU) et en utilisant $R_{i\pm\frac{1}{2}}$, l'erreur $e_i = u(x_i) - u_i$ vérifie ($e_0 = e_{N+1} = 0$) :

2. Produit ligne $i$ de $A_n$ par colonne $j$ de $B_n$ : la colonne $j$ de $B_n$ (intérieure) vaut $(-e_{j-1} + 2e_j - e_{j+1})$, donc $(A_n B_n)_{ij} = -a_{i,j-1} + 2a_{ij} - a_{i,j+1}$. Comme $a_{ij}$ est affine par morceaux en $j$ (égale à $n - \max(i,j) + 1$), cette différence seconde discrète vaut $0$ si $j \ne i$ et $1$ si $j = i$ (point anguleux). Pour $j = 1$ : $(A_nB_n)_{i1} = a_{i1} - a_{i2} = \delta_{i1}$. D'où $A_n B_n = I_n$ et $B_n = A_n^{-1}$.

3. L'élimination de Gauss sans permutation donne $A_n = LR$ avec les mineurs principaux $\Delta_k = n - k + 1$ : les pivots valent $r_{kk} = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} = \frac{n-k+1}{n-k+2}$. Exemple $n = 3$ :