مسابقة دكتوراه 2025 — Université Chadli Bendjedid - El Tarf — الموضوع 02

En appliquant la méthode de séparation des variables, déterminer les solutions du problème suivant :

$$(E)\quad \begin{cases} \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t} - \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = 0, & \text{pour } 0 < x < \pi,\; t > 0, \\ u(0,t) = u(\pi,t) = 0, & \text{pour } t \geq 0, \\ u(x,0) = 2\cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right), & \text{pour } 0 \leq x \leq \pi. \end{cases}$$

Soit $f \in C([0,1])$, et soit $u \in C^2([0,1] \times \mathbb{R}_+)$ solution du problème mixte suivant :

$$(\mathcal{P})\quad \begin{cases} u_t - 2u_{xx} + u = 0, & 0 < x < 1,\; t > 0, \\ u_x(0,t) = u(1,t) = 0, & t \geq 0, \\ u(x,0) = f(x), & 0 \leq x \leq 1. \end{cases}$$

On définit la fonction de l'énergie $H$ comme suit :

$$H(t) := \frac{1}{2} \int_0^1 [u(x,t)]^2\, dx, \quad \forall t \geq 0.$$

1. Montrer que la fonction $H$ est décroissante.

2. Montrer que si $f \equiv 0$ alors $H \equiv 0$.

3. Montrer que $(\mathcal{P})$ admet une unique solution.