مسابقة دكتوراه 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 10

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance nulle et de variance

$$\sigma^2.$$

Pour tout $n\ge1$, on pose

$$S_n=X_1+\cdots+X_n.$$

1. Montrer que $(S_n)$ est une martingale relativement à la filtration naturelle $(\mathcal{F}_n)$ de $(X_n)$.

2. Calculer

$$E\!\left(S_{n+1}^2-\sigma^2\mid\mathcal{F}_n\right),$$

puis en déduire qu'il existe une suite de réels $(a_n)$ telle que

$$(S_n^2+a_n)$$

soit une martingale.

3. Déterminer les suites de réels $(b_n)$, $(c_n)$ et $(d_n)$ telles que

$$(S_n^3+b_nS_n)$$

et

$$(S_n^4+c_nS_n^2+d_n)$$

soient des martingales.

On considère l'équation différentielle stochastique

$$\begin{cases} dY_t=\alpha Y_t\,dt+\beta\,dW_t,\\[0.8ex] Y_0=y_0. \end{cases} \tag{1}$$

1. Résoudre l'équation différentielle stochastique $(1)$.

2. Calculer l'espérance et la variance du processus $Y_t$.

3. Soit $Y_t$ la solution de $(1)$ et soit $h$ une fonction de classe $C^2$. Écrire la formule d'Itô appliquée au processus

$$Z_t=h(Y_t).$$

4. On considère la fonction

$$h(t)=\int_0^t e^{-\frac{\alpha}{\beta^2}u^2}\,du.$$

Montrer que

$$Z_t=\beta\int_0^t e^{-\frac{\alpha}{\beta^2}Y_s^2}\,dW_s.$$