مسابقة دكتوراه 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB)

التمرين 1

Exercice 1

#statistique exhaustive#maximum de vraisemblance#biais#loi exponentielle

(06 points) On observe un échantillon

X_1,X_2,\ldots,X_n

التمرين 2

Exercice 2

#loi de Rayleigh#maximum de vraisemblance#assurance

(04 points) La hauteur maximale $H$ de la crue annuelle d'un fleuve est observée, une crue dépassant $6$ mètres étant considérée comme catastrophique. On modélise $H$ par une loi de Rayleigh de densité

f_H(x) = \mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(x)\, \frac{x}{a} \exp\!\left( -\frac{x^2}{2a} \right),

où $a>0$ est un paramètre inconnu.

Au cours d'une période de huit années, les hauteurs de crue observées (en mètres) sont :

2.5,\; 1.8,\; 2.9,\; 0.9,\; 2.1,\; 1.7,\; 2.2,\; 2.8.

1. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance

\widehat{a}_n

du paramètre $a$ .

2. Une compagnie d'assurance estime qu'une catastrophe survient au plus une fois tous les mille ans. Cette affirmation est-elle compatible avec les observations ?

التمرين 3

Exercice 3

#vecteur gaussien#ind├⌐pendance#moments

(10 points) Soit

X=(X_1,X_2,X_3,X_4)^t

un vecteur gaussien de loi

\mathcal{N}(\mu_X,\Sigma_X),

où

\mu_X=(0,0,0,0)^t

\Sigma_X= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Soit $\alpha\in\mathbb{R}$ et

Y=(Y_1,Y_2,Y_3)^t,

défini par

Y_1=X_1+\alpha X_2, \qquad Y_2=X_2, \qquad Y_3=X_4.

1. Déterminer la loi de $Y$ .

2. Déterminer la condition que doit vérifier $\alpha$ pour que les variables aléatoires $Y_1$ , $Y_2$ et $Y_3$ soient indépendantes. Sous cette condition, calculer

\mathbb{E}(Y_1^2Y_2^2Y_3^2).

N.B. Toute réponse doit obligatoirement porter le numéro de la question.

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التمرين 1

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