Deux joueurs négocient le partage d'une somme d'argent, normalisée à $1$.

Le joueur $J_1$ propose d'abord de recevoir une part

$$s_1\in[0,1].$$

Le joueur $J_2$ choisit ensuite entre :

• $(A)$ : accepter l'offre ;
• $(R)$ : rejeter l'offre.

S'il accepte, alors $J_1$ reçoit

$$s_1$$

et $J_2$ reçoit

$$1-s_1.$$

En cas de rejet, un deuxième tour de négociation est ouvert. Le joueur $J_2$ propose alors une part

$$s_2$$

pour le joueur $J_1$.

Si $J_1$ accepte, il reçoit

$$s_2,$$

et $J_2$ reçoit

$$1-s_2.$$

En cas de nouveau refus, un partage imposé est appliqué : $J_1$ reçoit

$$s,$$

et $J_2$ reçoit

$$1-s,$$

où

$$s\in[0,1].$$

Les utilités des joueurs dépendent à la fois du montant reçu et du moment où il est perçu. Après chaque rejet, les gains sont actualisés par un facteur

$$\alpha\in[0,1].$$

Ce paramètre traduit l'impatience des joueurs : un accord obtenu plus tôt est préféré à un accord identique obtenu plus tard.

Les paramètres $\alpha$ et $s$ sont connus des deux joueurs. En présence de deux choix procurant la même utilité, les joueurs choisissent d'accepter le partage.

1. Modéliser cette situation sous la forme d'un jeu en forme extensive. Préciser la structure de l'information, le nœud initial, les sous-jeux ainsi que les joueurs intervenant sur les différents ensembles d'information.

2. Résoudre le jeu à l'aide du concept d'équilibre approprié. Déterminer les stratégies d'équilibre ainsi que les utilités des deux joueurs.

3. Décrire les issues d'équilibre dans les deux cas particuliers

$$\alpha=0$$

et

$$\alpha=1.$$