مسابقة دكتوراه 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 06

Dans cet exercice, $Z_t$ désigne un mouvement brownien standard. Soit $\sigma$ un processus adapté, continu et de carré intégrable. On considère le processus

$$X_t = \int_0^t\sigma(s)\,dZ_s - \frac12\int_0^t\sigma^2(s)\,ds.$$

On pose

$$Y_t=e^{X_t}, \qquad S_t=Y_t-1.$$

1. Déterminer les dynamiques de $Y$ et de $S$, c'est-à-dire exprimer les différentielles stochastiques

$$dY_t \qquad\text{et}\qquad dS_t.$$

2. On suppose que

$$\sigma(s)=\sigma,$$

où $\sigma$ est une constante.

a. Donner l'expression de

$$dY_t,$$

puis préciser la nature du processus $Y_t$ ainsi que ses paramètres.

b. Montrer que

$$Y_t=e^{\sigma Z_t-\frac12\sigma^2t}$$

est solution de l'équation différentielle stochastique vérifiée par $Y_t$.

c. Calculer

$$E(Y_t) \qquad\text{et}\qquad E(Y_t^2).$$

d. Montrer que, pour

$$\sigma=1,$$

le processus $Y_t$ est une martingale.

Soit $Y$ un processus d'Ornstein--Uhlenbeck défini par l'équation différentielle stochastique

$$\begin{cases} Y_0=y_0,\\[0.8ex] dY_t=\alpha(\beta-Y_t)\,dt+\sigma\,dZ_t. \end{cases}$$

1. Déterminer la solution $Y_t$ de cette équation différentielle stochastique.

Indication. Effectuer le changement de variable

$$X_t=(Y_t-\beta)e^{\alpha t}.$$

2. Calculer

$$E(Y_t\mid Y_0=y_0)$$

et

$$V(Y_t\mid Y_0=y_0).$$