مسابقة دكتوراه 2021 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

1. Donner la définition d'un processus aléatoire de mouvement Brownien standard $(W_t)_{t \geq 0}$.
2. Montrer que $Z_t = e^{\left(aW_t - \frac{a^2}{2} t\right)}$ est une martingale, constant.
3. Ecrire un simple code R pour la simulation d'un flux de trajectoires du processus $Z_t$, sur l'intervalle $[0,1]$.
4. Ecrire la forme intégrale d'une Equation Différentielle Stochastique de type Itô, (EDS). Commenter la forme analytique de cette équation.
5. Calculer l'intégrale stochastique

$$Z_t = \displaystyle\int_0^t W_s\,dW_s.$$

Commenter le résultat. 6. Donner la formule d'Itô pour une EDS. 7. Donner, sous une forme différentielle, une EDS décrivant la dynamique d'un stock de prix d'actif financier $(P_t)_{t \in [0,T]}$, ainsi que son log rendement (log return), qui peut sous certaines conditions vérifier le principe « absence d'opportunité d'arbitrage ». La réponse à la question doit être théoriquement justifiée.