مسابقة دكتوراه 2024 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 03

où $a(t)$, $b(t)$ et $c(t)$ sont des processus adaptés.

1. Soit $\alpha(t)=\int_0^t a(s)\,ds$. Vérifier que $X_0 e^{\alpha(t)}$ est une solution de l'équation homogène, c'est-à-dire $b=c=0$.

2. Poser $Y_t=e^{-\alpha(t)}X_t$, calculer à l'aide de la formule d'Itô.

3. En déduire $Y_t$ puis $X_t$ sous forme intégrale.

4. Résoudre l'EDS

5. Déterminer la variance de $X_t$. Calculer $\lim_{t\to 1} X_t$ dans $L^2$.