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مسابقة دكتوراه 2025 — Université de Tamanghasset | DocMath DZ

المواضيع / Université de Tamanghasset / 2025

مسابقة دكتوراه 2025 — Université de Tamanghasset — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

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MCP — Université de Tamanghasset 2025 — Doctorat_125300.pdf p.2 (Equations Différentielles Stochastiques, Mathématiques Financières)

التمرين 1

Ã‰quation stochastique â€” SchÃ©ma d'Euler

#EDS#schÃ©ma d'Euler#mouvement brownien

Considérons l'équation stochastique

dX_t = -\frac12X_t\,dt +\sqrt{1-X_t^2}\,dW_t, \qquad X_0=0.5. \tag{1}

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−21Xtdt+

1−Xt2dWt,X0=

0.5.

(1)

1. Écrire la solution approchée de l'équation $(1)$ à l'aide du schéma d'Euler.

2. Calculer la solution approchée

\widehat{X}_t

sur l'intervalle

[0,0.1],

avec

N=5.

3. Recalculer la solution approchée

\overline{X}_t

sur l'intervalle

[0,0.1],

avec

N=10.

4. Comparer les solutions approchées avec la solution exacte

(2)

à l'instant

t=0.1.

Que remarquez-vous ?

Données : Soit

\xi\sim\mathcal{N}(0,1).

On donne les réalisations suivantes :

-1.1819,\; -0.8876,\; -0.5917,\; 1.0513,\; -2.2367,\; 0.5371,\; 0.0460,\; -0.5976,\; 0.7221,\; 0.4999.

La solution exacte de l'équation $(1)$ est

X_t = \sin\!\left( W_t+\arcsin(X_0) \right). \tag{2}

التمرين 2

EDS linÃ©aire et facteur intÃ©grant

#EDS#facteur intÃ©grant#mouvement brownien

Soient $B_t$ un mouvement Brownien, $r, a$ des constantes. Nous considÃ©rons l'Ã©quation diffÃ©rentielle stochastique (EDS) suivante :

dY_t = r\,dt + a Y_t\,dB_t, \qquad Y_0 = 1. \tag{1}

Justifier que l'Ã©quation (1) admet une solution unique dÃ©finie en tout temps.
Calculer explicitement la valeur de $\mathbb{E}(Y_t)$ et $\mathbb{E}(Y_t^2)$ .

Z_t = \exp\!\left\{-a B_t + \frac{1}{2} a^2 t\right\}.

Calculer la diffÃ©rentielle de $A_t = Y_t Z_t$ . 4. En dÃ©duire l'expression de la solution $Y_{}$ en fonction de , .

Y0

=

1.

(1)

Soit le Â« facteur intÃ©grant Â»

21

a2

t

}

.

t

Y_t

Y_{t}

B_s

s \leq t