مسابقة دكتوراه 2024 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

Soit $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0},\mathbb{P})$ un espace de probabilité filtré, et $W$ un mouvement brownien standard. Soit $dX_t=H_t\,dW_t+K_t\,dt$ un processus d'Itô.

1. Vérifier à l'aide de la formule d'Itô que $Y_t=\varepsilon_t(X)$ est solution de l'équation différentielle stochastique

$$\frac{dY_t}{Y_t}=dX_t.$$

2. Déduire de cette équation que $\varepsilon(X)$ est une martingale dès que $K_t=0$ et ${\int }_0^t\mathbb{E}((H_s{\epsilon }_s(X){)}^2)ds<+\mathrm{\infty }$ pour tout .

Montrer que

$$S_t=x_0\exp\!\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)$$

est une solution issue de $x_0$ de l'équation

$$dX_t=X_t(\mu\,dt+\sigma\,dW_t).$$

3. Montrer, en considérant une autre solution $(X_t)$ et en appliquant 1) pour montrer que $X_t/S_t$ est constant, que est la seule solution issue de .