مسابقة دكتوراه 2024 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 04

On pose $Y_t=e^{-t}X_t$, calculer la dynamique de $Y_t$.

Exprimer $Y_t$ sous la forme intégrale.

Calculer $\mathbb{E}(Y_t)$ et $\mathbb{E}(Y_t^2)$.

Exprimer $Y_t$ pour $t>s$, sous la forme $Y_t=Y_s+\int_s^t g(u)\,dB_u$ où l'on explicitera la fonction .

Calculer $\mathbb{E}(Y_t\mid\mathcal{F}_s)$ et $\mathrm{Var}(Y_t\mid\mathcal{F}_s)$.

En déduire $\mathbb{E}(X_t\mid\mathcal{F}_s)$ et $\mathrm{Var}(X_t\mid\mathcal{F}_s)$.