مسابقة دكتوراه 2018 — Université 8 Mai 1945 - Guelma

التمرين 2

Équation intégrale de Fredholm : troncature du noyau et schéma des trapèzes

#Équation de Fredholm#Opérateurs bornés#Méthode des trapèzes#Série de Neumann

Soit $X = C(0,1)$ et $BL(X)$ l'espace des opérateurs linéaires bornés de $X$ dans $X$ , muni de la norme suivante :

\forall A \in BL(X) : \quad \|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|_X.

Soit l'équation de Fredholm suivante : trouver pour tout $f \in X$ , la fonction $u \in X$ vérifiant :

\forall t \in [0,1] : \quad \lambda u(t) = K u(t) + f(t), \tag{1}

où $K \in BL(X)$ défini par :

\forall x \in X : \quad K x(t) = \int_0^1 \frac{x(s)}{\sqrt{|t-s|}} \, ds.

Nous supposons que $\| (\lambda I - K)^{-1} \| = d < +\infty$ , ce qui assure l'existence et l'unicité de $u$ pour tout . Pour , on définit l'opérateur par :

K_{ε} x (t) = {\begin{cases} \int_{0}^{t - ε} \frac{x (s)}{\sqrt{∣ t - s ∣}} d s + \int_{t + ε}^{1} \frac{x (s)}{\sqrt{∣ t - s ∣}} d s, & t \in [ε, 1 - ε]; \\ \int_{t + ε}^{1} \frac{x (s)}{\sqrt{∣ t - s ∣}} d s, & t \in [0, ε [; \end{cases}

Montrer que $\|K - K_\varepsilon\| \le 4\sqrt{\varepsilon}$ .

\forall t \in [0,1] : \quad \lambda u_\varepsilon(t) = K_\varepsilon u_\varepsilon(t) + f(t). \tag{2}

a) Montrer que $u_\varepsilon$ existe et unique.
b) Montrer que, pour $\varepsilon$ assez petit,

\frac{\|u - u_\varepsilon\|_X}{\|u\|_X} \le 8 d \sqrt{\varepsilon}.

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit une subdivision de $[0,1]$ par : $t_j = jh$ , , . Soit des nombres réels choisis tels que :

\forall \varphi \in X : \quad \left| \int_0^1 \varphi(t) dt - h \sum_{j=0}^n w_j \varphi(t_j) \right| \to_{n \to +\infty} 0.

a) En utilisant les données précédentes et en prenant $\varepsilon = h = \frac{1}{2}$ , montrer qu'en appliquant la méthode de Trapèzes sur (2), nous obtenons le schéma numérique suivant :

\begin{matrix} {\begin{cases} λ U_{0} = h^{1 / 2} U_{1} + \frac{1}{2} h^{1 / 2} 2^{- 1 / 2} U_{2} + f (t_{0}), \\ U_{1} = \frac{1}{λ} f (t_{1}), \\ λ U_{2} = h^{1 / 2} U_{1} + \frac{1}{2} h^{1 / 2} 2^{- 1 / 2} U_{0} \end{cases} \end{matrix}

◀الحل

1. Pour $x \in X$ avec $\|x\| \le 1$ et $t \in [\varepsilon, 1-\varepsilon]$ :

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