مسابقة دكتوراه 2021 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 03

On s'intéresse à l'équation différentielle

1. L'application $f$, est-elle continue ? est-elle localement Lipschitzienne par rapport à sa seconde variable ? que peut-on en déduire pour l'équation (1) ?
2. Soit $\varphi$ une solution de (1) qui est définie sur un intervalle $I$ ne contenant pas $0$. On définit une application $\psi$ par $\varphi(t) = t^2 \psi(t)$, $t \in I$. Déterminer une équation différentielle (E) telle que $\psi$ soit solution de cette équation, puis résoudre cette équation (E).

2. Dérivation du produit : $\phi'(t) = A e^{tA} e^{tB} e^{-t(A+B)} + e^{tA} B e^{tB} e^{-t(A+B)} - e^{tA} e^{tB} (A+B) e^{-t(A+B)}$. En multipliant à droite par $\phi^{-1}(t) = e^{t(A+B)} e^{-tB} e^{-tA}$ et en regroupant :

car $e^{tB} B e^{-tB} = B$.

3.a) Soit $g(t) = e^{tB} A e^{-tB}$. Alors $g'(t) = e^{tB} (BA - AB) e^{-tB} = e^{tB} \left( -[A,B] \right) e^{-tB} = -[A,B]$, en utilisant la question 1 (car $B$ commute avec $[A,B]$). Donc $g(t) = A - t[A,B]$, soit $A - e^{tB} A e^{-tB} = t[A,B]$.

b) Comme $A$ commute avec $[A,B]$, la conjugaison par $e^{tA}$ laisse $t[A,B]$ invariant : $\phi'(t)\phi^{-1}(t) = t[A,B]$.

c) $\phi$ vérifie $\phi'(t) = t[A,B]\, \phi(t)$, $\phi(0) = I$, et $[A,B]$ commute avec tout : $\phi(t) = e^{\frac{t^2}{2}[A,B]}$. En $t = 1$ : $e^A e^B e^{-(A+B)} = e^{\frac{1}{2}[A,B]}$, d'où