مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 11

(6 points) Au cours d'essais génétiques sur la vigne, on a vu apparaître un caractère nouveau décelable uniquement à la floraison. Empiriquement, on a établi que, dans la souche ainsi créée, la fréquence d'apparition du caractère était de $0{,}15$. Dans le but de tester les conditions de multiplication des individus présentant ce caractère, on répartit des échantillons de 5 individus dans des terrains et des terroirs différents.

1. On considère la variable aléatoire $X$ donnant le nombre d'apparition du caractère étudié dans un lot de 5 individus. Quelle est la distribution de probabilité de $X$ ?
2. On étudie 1000 échantillons de 5 individus. À la floraison, on détermine dans chaque échantillon le nombre d'individus présentant le caractère, on obtient les résultats suivants :

Étudier la conformité de ces résultats à la loi théorique déterminée dans la question 1).

(6 points) Dans une entreprise de service, où les usagers arrivent suivant un processus de Poisson de taux $\lambda > 0$, la direction a le choix entre les 3 modèles suivants :

1. Installation d'un serveur dont la durée suit une loi exponentielle de paramètre $2\mu$.
2. Installation de 2 serveurs séparés et identiques, chacun admettant une durée de service suivant une loi exponentielle de paramètre $\mu$. Tout usager venant d'arriver, choisit avec la probabilité $0{,}5$ l'un des serveurs et il n'y a pas d'échange d'usagers potentiels chez les serveurs.
3. Installation de deux serveurs identiques non séparés. Dès que l'un des serveurs est libre, s'il y a des usagers en attente, le premier arrivé se fait servir chez le serveur libéré.

Supposons que $\frac{\lambda}{2\mu} < 1$. Calculer le temps moyen passé dans le système (pour les trois systèmes en question). Lequel des 3 systèmes est le plus performant ?