مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 11

(07 points) Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un échantillon, de taille $n \ge 1$, d'une population $X$ de distribution exponentielle de paramètre $1/\theta$, $\theta > 0$.

1. Déterminer l'estimateur $\hat{\theta}_1$ du maximum de vraisemblance de $\theta$. Vérifier qu'il est sans biais.
2. On considère un autre estimateur de $\theta$,

$$\hat{\theta}_2 = \min_{1 \le i \le n} X_i$$

Déterminer sa fonction de répartition, puis déduire sa densité de probabilité. À quelle loi de probabilité usuelle correspond-elle ? 3. Comparer les deux estimateurs par rapport à leurs erreurs quadratiques moyennes.

(07 points) Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un $n$-échantillon issu d'une variable aléatoire $X$ de densité de probabilité :

$$f_{\theta}(x) = \theta x^{-\theta-1}\mathbb{1}_{[1,+\infty[}(x).$$

1. On suppose que $\theta > 1$ ; déterminer l'estimateur $\hat{\theta}^{M}$ de $\theta$ par la méthode des moments.
2. Soit maintenant $\theta$, déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de , noté .