مسابقة دكتوراه 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB)

التمرين 1

Exercice 1

#portefeuille#risque#corr├⌐lation#optimisation

On considère un portefeuille composé de deux actifs. Son rendement est donné par

R_p=a_1R_1+(1-a_1)R_2,

Exercice 2

#loi de Rayleigh#estimateur des moments#maximum de vraisemblance#estimateur sans biais

Soient

X_1,X_2,\ldots,X_n

des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de densité

f_\theta(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^2}{2\theta}\right), & x>0,\\[1.2ex] 0, & \text{sinon.} \end{cases}

1. Déterminer l'estimateur des moments

\widehat{\theta}

de $\theta$ .

2. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance

\theta_{MV}

de $\theta$ .

3. En déduire que

\theta_{MV}

est un estimateur sans biais de $\theta$ .

4. Dans le cas

n=10,

déterminer s'il existe un autre estimateur sans biais de $\theta$ dont la variance est strictement inférieure à celle de

\theta_{MV}.

Exercice 3

#intervalle de confiance#test d'hypoth├¿se#loi normale#puissance

Vingt informaticiens ont installé chacun soit Linux, soit WinNT. Les temps d'installation (en minutes) sont donnés dans le tableau suivant.

Linux	154	164	198	168	180	172	142	165	172	158
WinNT	145	162	156	152	168	157	155	140	145	160

On suppose que les observations proviennent de lois normales.

1. Calculer un intervalle de confiance de la durée moyenne d'installation de chacun des deux logiciels.

2. À l'aide d'un test statistique, déterminer, au seuil de

5\%,

si la durée moyenne d'installation de Linux est supérieure à celle de WinNT.

3. On suppose désormais que les variances des temps d'installation sont connues et données par

\sigma_L^2=225, \qquad \sigma_W^2=100.

a. Quelle est alors la statistique de test utilisée à la question 2 ?

b. Quelle est sa loi ?

c. Déterminer la taille d'échantillon nécessaire pour garantir une puissance de

80\%

afin de détecter une différence de durée moyenne de

10\ \text{minutes}.