مسابقة دكتوراه 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 08

Les arrivées d'autobus à une station suivent un processus de Poisson d'intensité

$$\lambda=4$$

par heure.

1. Dans cette question seulement, chaque autobus s'arrête pendant un temps fixe

$$\tau=1\,\text{mn}$$

à la station.

Un passager arrive à un instant $\theta$. Il monte dans l'autobus si celui-ci est présent. Sinon, il attend pendant

$$\tau_0=5\,\text{mn},$$

puis, si aucun autobus n'est arrivé durant ce temps, il quitte la station et poursuit son trajet à pied.

Déterminer la probabilité que le passager prenne l'autobus.

2. On suppose que le trajet entre l'arrêt et votre domicile dure

$$t_1\,\text{mn}$$

en autobus et

$$t_2\,\text{mn}$$

à pied.

Vous décidez d'attendre le bus pendant

$$s\,\text{mn},$$

puis, s'il n'est pas arrivé, de rentrer à pied.

a. Soient

$$W$$

le temps total nécessaire pour rentrer chez vous et

$$T$$

le temps écoulé entre votre arrivée à l'arrêt et celle du prochain autobus.

Vérifier que

$$W=(T+t_1)\mathbf{1}_{[0,s[}(T) +(s+t_2)\mathbf{1}_{[s,+\infty[}(T).$$

b. En déduire que

$$E(W) = \left(\frac1\lambda+t_1\right) + e^{-\lambda s} \left( t_2-t_1-\frac1\lambda \right).$$

c. Déterminer le temps moyen nécessaire pour rentrer chez vous. En déduire les valeurs de

$$s$$

qui minimisent ce temps dans chacun des cas

$$\lambda<\frac1{t_2-t_1}, \qquad \lambda>\frac1{t_2-t_1}, \qquad \lambda=\frac1{t_2-t_1}.$$

Des clients arrivent à un centre de service. Les clients sont servis un par un par un unique serveur. Lorsqu'un client arrive et trouve le serveur occupé, il rejoint la file d'attente.

Pour tout $n\geq0$, on note

$$Y_n$$

le nombre de clients arrivant pendant le service du

$$(n+1)^{\text{ème}}$$

client.

On suppose que les variables aléatoires

$$(Y_n)_{n\geq0}$$

sont indépendantes et identiquement distribuées.

On note

$$X_n$$

le nombre de clients présents dans la file d'attente immédiatement après le service du

$$n^{\text{ème}}$$

client.

Montrer que

$$(X_n)_{n\geq0}$$

est une chaîne de Markov, puis déterminer sa matrice de transition.