مسابقة دكتوراه 2017 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 06

À travers la présente application, une méthode d'estimation du nombre $\pi$ est proposée. On considère la variable aléatoire

où $U$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$.

1. Montrer que

2. En déduire une méthode d'estimation de $\pi$ à partir d'un échantillon

de la loi uniforme sur $[0,1]$. On notera $T$ l'estimateur obtenu.

3. Montrer que $T$ est sans biais et convergent.

4. À partir d'un intervalle de confiance asymptotique de $\pi$ obtenu par cette méthode, au niveau de confiance

déterminer le nombre minimal de variables uniformes à générer afin d'obtenir une précision absolue d'au moins

1. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable $E_1$. Soit $X_0$ une variable aléatoire indépendante des $Y_n$, à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable $E_2$.

On considère le processus $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ défini par

Montrer que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov.

2. Soit $X_n$ la valeur maximale obtenue après $n$ lancers d'un dé. Montrer que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov. Déterminer sa matrice de transition, puis étudier cette chaîne.