مسابقة دكتوراه 2015 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 05

où $\theta>0$ et $\alpha>1$.

Ce modèle a été introduit en 1889 par l'économiste suisse Vilfredo Pareto pour modéliser la répartition des revenus, en postulant que le nombre de personnes dont le revenu dépasse une valeur $x$ est proportionnel à une puissance de $x$.

Partie I : Modèle probabiliste

1. Déterminer la constante de normalisation $k$.

2. Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$.

3. Calculer le moment non centré d'ordre $s$, pour $s\in\mathbb{N}^*$, en précisant les conditions d'existence. En déduire $\mathbb{E}(X)$ et $\mathrm{Var}(X)$.

4. Soient $X_1,X_2,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Pareto de paramètres $\alpha$ et $\theta$. On pose

Déterminer la loi de $Z$ et l'identifier.

Partie II : Inférence sur $\alpha$

On suppose que $\theta$ est connu et que

est un échantillon aléatoire issu de la loi de Pareto de paramètres $\alpha$ et $\theta$.

1. Déterminer une statistique exhaustive de $\alpha$.

2. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance

en vérifiant qu'il correspond bien à un maximum.

3. Déterminer la loi de la variable

4. L'estimateur $\widehat{\alpha}$ est-il sans biais ? Dans le cas contraire, proposer un estimateur sans biais, noté $\widehat{\alpha}_1$.

5. Calculer

puis la borne de Cramér--Rao associée à l'estimation de $\alpha$.

6. En déduire que l'estimateur $\widehat{\alpha}_1$ n'est pas efficace.

Partie III : Application en assurances

La charge totale des sinistres sur la période $[0,t]$ est définie par

où

et où les variables $X_i$ sont indépendantes, indépendantes de $N(t)$, et suivent toutes une loi de Pareto de paramètres $\alpha>1$ et $\theta=1$.

1. Calculer la prime pure du portefeuille

2. On suppose que

est connu. On définit le résultat technique de la compagnie d'assurance par

où $N$ est le nombre de contrats sur $[0,t]$, chaque contrat donnant lieu à une prime pure $\Pi_t$, et où $\rho$ est le coefficient de chargement de cette prime.

Calculer le coefficient de sécurité

où $\kappa$ désigne le capital initial de recouvrement.